Уже в раннем детстве Куц отличался упорным характером: научился ходить на лыжах, чтобы быстрее добираться в школу, находящуюся в 5 км от его села; самостоятельно занимался физкультурой (хотя спортивного зала в школе не было, но в коридоре стояли конь, брусья, висели кольца).

После Великой Отечественной войны юноша был направлен на службу в Краснознаменный Балтийский флот. Способности к бегу были открыты случайно. После участия в гарнизонных соревнованиях по кроссу выяснилось, что он показал самый лучший результат. В Таллине на первенстве Краснознаменного Балтийского флота Куц занял третье место, после чего и появилось желание тренироваться. Весной 1951 г. ему посчастливилось встретиться с одним из наиболее знающих тренеров страны Леонидом Сергеевичем Хо-менковым - известным в прошлом легкоатлетом, который стал первым тренером Куца, помог ему войти в большой спорт, а впоследствии следил за его успехами. Их Куц достиг в беге в 1952 г., когда его начал тренировать Александр Чикин. Так, весной он имел еще только второй разряд, а осенью был уже мастером спорта. Зимой 1952-1953 гг. спортсмена перевели в Ленинград, где его наставником стал Г. И. Никифоров - один из тренеров сборной страны. В 1953 г. на Международном фестивале молодежи и студентов в Бухаресте Куц завоевал серебряную медаль, лишь на доли секунды пропустив вперед героя XV Олимпийских игр в Хельсинки Эмиля Затопека и приблизившись к границе 14 минут. В 1954 г. на чемпионате Европы Куц не только занял первое место, но и побил мировой рекорд - 13.56,6.

После успеха на чемпионате мира последовало несколько обидных поражений: соперники буквально наступали ему на пятки и в самый последний момент вырывались вперед, устанавливая новый мировой рекорд. Приближалась Олимпиада в Австралии (Мельбурне). Необходимо было выработать новую технику бега, научиться регулировать его скорость: от бега трусцой или равномерного бега в среднем темпе переходить к длинным ускорениям, изматывающим противника рывкам.

В результате целенаправленных тренировок Владимир Куц незадолго до Олимпиады установил мировой рекорд в беге на 10000 м.

Впервые русский спортсмен применил свою тактику рваного бега на дистанции 10000 м, и ему удалось оставить позади английского бегуна Гордона Пири. Перед забегом на 5000 м англичане образовали "противокуцевскую коалицию", в состав которой вошли Кристофер Чатауэй, Дерек Ибботсон и Гордон Пири. Они разработали специальную тактику. Готовилась к этому бегу также тройка венгерских спортсменов: Шандор Ихарош, Миклош Сабо и Ласло Табори.

В предварительном забеге на 5000 м Куц отдыхал. Такое поведение ввело в заблуждение даже опытного специалиста и известного тренера Франца Стамфла, который был уверен в том, что Куц отдал все силы, когда бежал 10000 м, и не будет способен на победу в следующем этапе соревнований.

Однако бег Владимира Куца на 5000 м показал, насколько нешаблонна и разнообразна его тактика. Соперники приготовились к рывкам, а Куц выбрал равномерный бег, но в непосильном для них темпе, причем скорость оказалась так высока, что достаточно сильные бегуны - югослав Мугош и американец Делингер - вынуждены были сойти с дистанции. Куц стал настоящим героем Мельбурна. Игры 1956 г. назвали "Олимпиадой Куца".

Владимиру Петровичу было доверено нести знамя советской делегации на закрытии Олимпийских игр в Австралии.

В 1957 г., когда В. П. Купу исполнилось 30 лет, ему присвоили звание лучшего спортсмена мира. Наступило лето 1957 г. Впервые бегун не смог участвовать в соревнованиях: беспокоил желудок и сильно болели ноги. Врачи настоятельно рекомендовали уйти из большого спорта.

Спортсмен решился участвовать еще в нескольких соревнованиях, однако подорванное здоровье все же заставило его покинуть беговую дорожку, после чего он стал тренером в ЦСКА и подготовил немало известных бегунов.

В 1973 г. В. П. Куц попал в автомобильную катастрофу и получил серьезную травму. После выздоровления возглавил детскую спортивную школу.
16 августа 1975 г. В. П. Куца не стало.