Родился под Екатеринбургом. Первым наставником был Г. Витман. Начинал Александр плавать на спине, но результаты были неважными. Спортивный талант в нем раскрыл тренер волгоградской группы Геннадий Турецкий.

В 1991 г. на чемпионате Европы в Афинах Попов завоевал три золотые медали. 23 августа он первый раз стал лидером стометровой дистанции, победив с результатом 49,18; а затем выиграл в двух эстафетах - 4 х 100 м вольным стилем и комбинированной 4 х 100 м.

В олимпийской Атланте (1996) русский пловец вновь оказался в зените славы, блестяще обогнав на стометровке и короткой дистанции американца Гери Холла.

После Олимпиады из-за полученного в результате драки ранения Александру пришлось на время прервать спортивную карьеру. Однако после восстановительного периода ему удалось вернуть свой высокий уровень мастерства, который он продемонстрировал на чемпионате страны (2000). На организованном в бассейне спорткомплекса <Олимпийский> заплыве спортсмен установил на дистанции 50 м мировой рекорд - 21,64 с.

На чемпионате Европы-2000 в Хельсинки Попов лишил золота на стометровке вольным стилем своего давнего соперника - голландца Питера ван ден Ху-тенбанда. В полуфинале соревнований спортсмен финишировал на полтора корпуса впереди ближайшего преследователя. А его победа на короткой дистанции уже не удивила болельщиков.

На Олимпиаде в Сиднее (2000) стометровка принесла Попову лишь серебро, а на дистанции 50 м он остался за чертой призеров. На пресс-конференции спортсмен заявил журналистам, что собирается плавать еще минимум два года.